حل تمرین صفحه 142 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 1 سلام به شما دانش‌آموزان عزیز. در این تمرین می‌خواهیم ویژگی‌های هندسی دایره را از روی معادله آن استخراج کنیم. **بررسی مورد الف:** معادله به صورت گسترده است: $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0$ **گام اول: پیدا کردن مرکز و شعاع** برای پیدا کردن مرکز $(h, k)$ از فرمول‌های $h = -\frac{a}{2}$ و $k = -\frac{b}{2}$ استفاده می‌کنیم: $h = -\frac{-6}{2} = 3$ $k = -\frac{2}{2} = -1$ پس **مرکز دایره** $O(3, -1)$ است. برای شعاع ($r$) داریم: $r = \sqrt{h^2 + k^2 - c} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9 + 1 - 1} = 3$ پس **شعاع دایره** برابر ۳ است. **گام دوم: تقاطع با محورها** برای تقاطع با محور $x$ها، $y=0$ قرار می‌دهیم: $x^2 - 6x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$ برای تقاطع با محور $y$ها، $x=0$ قرار می‌دهیم: $y^2 + 2y + 1 = 0 \Rightarrow (y + 1)^2 = 0 \Rightarrow y = -1$ دایره در نقطه $(0, -1)$ بر محور $y$ها مماس است. --- **بررسی مورد ب:** معادله: $x^2 + (y + 3)^2 = 4$ **گام اول: مرکز و شعاع** این معادله استاندارد است. با مقایسه با $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$: **مرکز:** $O(0, -3)$ **شعاع:** $r = \sqrt{4} = 2$ **گام دوم: تقاطع با محورها** با محور $x$ها ($y=0$): $x^2 + 9 = 4 \Rightarrow x^2 = -5$ (جواب ندارد، تقاطع ندارد). با محور $y$ها ($x=0$): $(y + 3)^2 = 4 \Rightarrow y + 3 = \pm 2$ $y = -1$ و $y = -5$ نقاط تقاطع: $(0, -1)$ و $(0, -5)$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 2 برای نوشتن معادله دایره، همیشه به دنبال دو چیز هستیم: **مرکز** و **شعاع**. **حل الف:** مرکز را داریم: $(2, -1)$. شعاع برابر است با فاصله مرکز تا مبدأ مختصات $(0, 0)$: $r = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ معادله دایره: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$ **حل ب:** مرکز را داریم: $(2, 3)$. شعاع برابر فاصله مرکز تا نقطه $(9, -3)$ است: $r = \sqrt{(9-2)^2 + (-3-3)^2} = \sqrt{7^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$ معادله دایره: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 85$ **حل پ:** وقتی دو سر قطر را داریم: ۱. **مرکز** وسط این دو نقطه است: $M = (\frac{0+1}{2}, \frac{3-4}{2}) = (0.5, -0.5)$ ۲. **شعاع** نصف فاصله این دو نقطه است: $2r = \sqrt{(1-0)^2 + (-4-3)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ پس $r = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ و $r^2 = \frac{50}{4} = 12.5$ معادله دایره: $(x - 0.5)^2 + (y + 0.5)^2 = 12.5$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 3 برای تعیین وضعیت نقطه نسبت به دایره، مختصات نقطه را در معادله دایره قرار می‌دهیم. اگر حاصل $P$ باشد: - اگر $P < 0$، نقطه **داخل** دایره است. - اگر $P = 0$، نقطه **روی** دایره است. - اگر $P > 0$، نقطه **خارج** دایره است. عبارت دایره: $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1$ - برای $(1, 0)$: $1 + 0 - 2 + 0 + 1 = 0$ $\rightarrow$ **روی دایره** - برای $(0, -1)$: $0 + 1 - 0 - 4 + 1 = -2 < 0$ $\rightarrow$ **داخل دایره** - برای $(-1, -2)$: $1 + 4 + 2 - 8 + 1 = 0$ $\rightarrow$ **روی دایره** - برای $(0, 0)$: $0 + 0 - 0 + 0 + 1 = 1 > 0$ $\rightarrow$ **خارج دایره**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 4 این یک مسئله کاربردی از دایره است. چون هر واحد ۱۰۰ متر است، شعاع ۱۳۰۰ متری معادل **۱۳ واحد** در دستگاه مختصات است. **الف) معادله دایره:** مرکز $(13, 13)$ و شعاع $r=13$ است: $(x - 13)^2 + (y - 13)^2 = 13^2 = 169$ **ب) نقاط برخورد مسیرها با دایره:** با توجه به شکل، یکی از مسیرها افقی ($y=13$) و دیگری عمودی ($x=21$) است. - برای مسیر افقی $y=13$: $(x - 13)^2 + 0 = 169 \Rightarrow x-13 = \pm 13 \Rightarrow x=0, x=26$. نقاط: $(0, 13)$ و $(26, 13)$. - برای مسیر عمودی $x=21$: $(21 - 13)^2 + (y - 13)^2 = 169 \Rightarrow 64 + (y - 13)^2 = 169 \Rightarrow (y - 13)^2 = 105 \Rightarrow y = 13 \pm \sqrt{105}$. **پ) نقطه تقاطع دو مسیر:** محل برخورد خط $x=21$ و خط $y=13$ نقطه **$(21, 13)$** است. **ت) طول مسیر عمودی:** نقاط برخورد مسیر عمودی دارای عرض‌های $13 + \sqrt{105}$ و $13 - \sqrt{105}$ هستند. طول مسیر برابر تفاضل این دو مقدار است: $2\sqrt{105}$ واحد. در دنیای واقعی، این مقدار را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم تا به متر تبدیل شود: $200\sqrt{105}$ متر.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 5 برای تبدیل معادله گسترده به استاندارد، از روش **مربع کامل** استفاده می‌کنیم. **گام اول: دسته بندی جملات** $(x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) = 8$ **گام دوم: مربع کامل کردن** برای $x^2 + 2x$ عدد ۱ و برای $y^2 + 2y$ هم عدد ۱ را به طرفین اضافه می‌کنیم: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 8 + 1 + 1$ $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 10$ **گام سوم: استخراج ویژگی‌ها** این همان **شکل استاندارد** است. - **مختصات مرکز:** $O(-1, -1)$ - **اندازه شعاع:** $r = \sqrt{10}$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 6 بهترین راه، مقایسه **فاصله مرکز تا خط ($d$)** با **شعاع ($r$)** است. **حل الف:** دایره: $h=2, k=2, r=\sqrt{4+4-7}=1$. مرکز $O(2, 2)$. خط: $6x+4y=0$ یا $3x+2y=0$. $d = \frac{|3(2)+2(2)|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{10}{\sqrt{13}} \approx 2.77$ چون $d > r$ است، خط و دایره **تقاطع ندارند**. **حل ب:** دایره: مرکز $O(0, 0)$ و شعاع $r=\sqrt{2} \approx 1.41$. خط: $x+y+2=0$. $d = \frac{|0+0+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ چون $d = r$ است، خط بر دایره **مماس** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 8 وقتی دایره بر خط مماس است، **شعاع** برابر با فاصله مرکز تا آن خط است. **گام اول: محاسبه شعاع** مرکز $(0, 3)$ و خط $3x - 4y - 3 = 0$ است. $r = \frac{|3(0) - 4(3) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-15|}{5} = 3$ **گام دوم: نوشتن معادله** با مرکز $(0, 3)$ و شعاع $r=3$: $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$ **$x^2 + (y - 3)^2 = 9$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 9 برای تعیین وضعیت دو دایره، فاصله مراکز ($d$) را با مجموع و تفاضل شعاع‌ها مقایسه می‌کنیم. **حل الف:** دایره ۱: $O_1(1, -2), r_1=\sqrt{1+4-(-4)}=3$ دایره ۲: $O_2(-1, 2), r_2=\sqrt{1+4-(-9)}=\sqrt{14} \approx 3.74$ $d = \sqrt{(-1-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4.47$ $r_1+r_2 \approx 6.74$ و $|r_1-r_2| \approx 0.74$ چون $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ است، دو دایره **متقاطع** هستند. **حل ب:** دایره ۱: $O_1(2, -3), r_1=\sqrt{7} \approx 2.64$ دایره ۲: $O_2(0, 5), r_2=\sqrt{5} \approx 2.23$ $d = \sqrt{(0-2)^2 + (5-(-3))^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} \approx 8.24$ $r_1+r_2 \approx 4.87$ چون $d > r_1+r_2$ است، دو دایره **متخارج** (جدا از هم) هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 142 - تمرین 10 شرط **مماس درون** بودن این است که فاصله مراکز برابر با تفاضل شعاع‌ها باشد: $d = |r_1 - r_2|$. **گام اول: مشخصات دایره معلوم** $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0 \Rightarrow O_2(2, 3), r_2 = \sqrt{4+9-(-3)} = 4$ **گام دوم: فاصله مراکز** مرکز دایره مطلوب $O_1(-1, -1)$ است. $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ **گام سوم: یافتن شعاع مطلوب** طبق شرط مماس درون: $5 = |r_1 - 4|$. ۱) $r_1 - 4 = 5 \Rightarrow r_1 = 9$ ۲) $r_1 - 4 = -5 \Rightarrow r_1 = -1$ (غیرممکن) پس شعاع دایره ما ۹ است. **گام چهارم: معادله نهایی** $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 81$